Габит Сыздыкбеков в 2001 году окончил Казахский государственный юридический университет по специальности "юрист", в 2003 году — Дипломатическую академию МИД России по специальности "международные отношения".

Начал трудовую карьеру в 2004 году на должности атташе Службы государственного протокола. Занимал различные должности в системе МИД, позже перешел на работу в Сенат. 
В 2011 году вернулся в Министерство иностранных дел на должность начальника управления департамента Азии и Африки. Далее работал советником посольства Казахстана во Франции, советником департамента администрации и контроля МИД, советником председателя Сената.

С 2018 по 2019 год — руководитель отдела по взаимодействию с комитетом по международным отношениям, обороне и безопасности аппарата Сената. В 2019 году также стал послом по особым поручениям.

С сентябрь 2019 года по июль 2021 года — посол Казахстана в Сербии. Далее он переходит на работу в аппарат правительства.

5 сентября 2023 года Касым-Жомарт Токаев назначает Габита Сыздыкбекова акимом Шымкента. 

В декабре 2023 года Габит Сыздыкбеков заявил, что не нуждается в пиаре и не собирается привлекать для самопиара специальных людей.