В 2008 году окончил Казахский национальный университет имени аль-Фараби по специальности "Бакалавр политологии", а в 2010 году — магистратуру этого же университета по специальности "Магистр политологии".
С 2006 по 2012 годы занимал различные руководящие должности в общественном объединении "Жастар Үні", в том числе был советником организационного отдела и председателем молодежного крыла.
С 2012 по 2015 годы работал учителем истории в ГУ "Школа-лицей № 48" города Алматы и секретарем по идеологии и пропаганде Общественного объединения Алматинского городского филиала Коммунистической Народной партии Казахстана.
С 2015 по 2017 год возглавлял отдел молодежных проектов и организационной работы Управления по вопросам молодежной политики города Алматы, а позже — само Управление.
С 2017 по 2018 год был директором департамента по воспитанию, социальной работе и молодежной политике Казахского национального педагогического университета имени Абая.
В 2019–2020 годах Елнур Бейсенбаев занимал должность советника акима города Нур-Султан, а с 2020 по 2021 годы был председателем молодежного крыла Jas Otan.
С 2021 по 2023 год являлся депутатом Мажилиса Парламента Республики Казахстан VII созыва, входя в состав Комитета по социально-культурному развитию.
В 2023 году стал исполнительным секретарем партии AMANAT.