Азамат Ескараев - выпускник Казахской государственной юридической академии.
Трудовую деятельность начал в 2000 году специалистом в Министерстве юстиции. В данном ведомстве он проработал на разных должностях до 2005 года, после чего стал главным инспектором акима Алматы. С 2006 по 2007 год работал в департаменте юридической службы "Фонда устойчивого развития "Қазына", после чего вернулся в Министерство юстиции.
С 2012 по 2014 год занимал должность начальника организационно – контрольного департамента инспекции Агентства Республики Казахстан по борьбе с экономической и коррупционной преступностью. С 2014 по 2019 год был заместителем заведующего юридическим отделом канцелярии премьер-министра. С 2019 по январь 2023 год возглавил данный отдел.
4 января 2023 года указом Президента Касым-Жомарта Токаева Азамат Ескараев был назначен министром юстиции.
9 января 2025 года Азамат Ескараев был освобожден от должности министра юстиции.
